js趣玩：位运算符实现js二进制加法减法(js加减法)

1、本文缘起

昨天看到群里有朋友在讨论说“实现 js 小学数学运算搞的头大”，误以为他是要实现底层算法（后面发现只是实现小学加减乘除表相关数学 web 功能，可能是遇到js数学运算的精度问题了吧），去网上搜了一圈发现并没有 javascript 的底层加减法文章。索性自己实现一个例子，记录如下。

2、预备知识

原码、反码、和补码相互之间的关系：
1）计算机底层的运算都是 0、1 的运算，数字最终都会被转成二进制的0和1来进行数学运算。
2）3种二进制码制：

原码：如果机器字长为 n，那么一个数的原码就是一个 n 位的二进制有符号数，其中最高位为符号位：正数为 0，负数为 1。剩下的 n-1 位为数值位，表示真值的绝对值；凡不足 n-1 位的，在最高位左边加零；整数则在最高位左边加零来补足 n-1 位。
例如：8 位机器上：X = +101011，[X]原 = 0010 1011；X = -101011，[X]原 = 1010 1011

反码：正数的反码与其原码相同；
负数的反码是在原码的基础上，符号位不变，其他位按位取反（就是 0 变 1，1 变 0）就可以了。
例如：X = -101011，[X]原 = 1010 1011，[X]反 = 1101 0100

补码：正数的补码与其原码相同；
负数的补码就是在反码的基础上，按照正常的加法运算加 1。
例如：X = -101011，[X]原 = 1010 1011 ，[X]反 = 1101 0100，[X]补 = 1101 0101

需要特别说明的是：

1）原码不能直接参加运算，可能会出错。例如数学上，1+(-1)=0，而在二进制中：
00000001+10000001=10000010，换算成十进制为 -2。显然是错误的。

2）而补码可以直接加减运算，采用补码加减法运算，可将“正数加负数”的操作，转化为“正数加正数”的操作。最后把得到的补码运算结果取反码然后还原为原码就是正确结果，示例：
25+（-36） = -11
25的补码：00011001
-36的补码：11011100
00011001
11011100
相加得到：
11110101
11110101的原码为：10001011（ 十进制就是 -11 ）

3、js 实现加法：

function Add(nNum1, nNum2) {
    //如果其中一个相加参数数为 0，则返回另一参数；
    if(nNum1 == 0 || nNum2 == 0) return nNum1 || nNum2;
    var ntempNum;
    while (nNum2 != 0) {
        ntempNum = nNum1 ^ nNum2;
        nNum2 = (nNum1 & nNum2) << 1;
        nNum1 = ntempNum;
    }
    return nNum1;
}

console.log( Add(5,7) ); //12
console.log( Add(11,21) ); //32

上例 console.log( Add(5,7) ); 中 5+7=12 运算原理解释：
1）首先看十进制是如何运算的：（三步走）

第一步：相加各位的值，不算进位，得到 2；
第二步：计算进位值，5+7 进 10，得到 10（如果这一步的进位值为 0，那么第一步得到的值就是最终结果）；
第三步：重复上述两步，将进位值与个位值相加，所以只是相加的值变成上述两步的得到的结果 2 和 10 ，得到 12。

2）再来看二进制值相加： （三步走）

首先，数字 5 和 7 转换为8位二进制：
5 =< 0000 0101
7 =< 0000 0111

第一步：相加各位的值，不算进位，
0000 0101
0000 0111
———-(相加，但不算进位)
0000 0010
因为，二进制每位相加就相当于各位做异或操作^（二进制数的异或操作是2个数对应位只有一个为 1，则在该位返回 1，其它均返回 0，所以异或的结果正是我们想要的各位相加不算进位的值；当然 js 还有其它进制形式的异或，相关知识另文详解）
所以，00000101^00000111 得到 00000010，转为十进制就是 2，测试如下：
console.log( 5^7 );
打印出 2

第二步：计算进位值，这里我们将用到 &按位与 和 左移位运算符来计算进位值：
& 运算符：2 个数对应位都是1，则在该位返回 1；
<< 运算符：将数往左移动一位；
首先 00000101 & 00000111 得到 00000101，所以2个数对应位都是1的会在该位返回1，理应向上进 1 位而没有进位却在该位返回 1，所以我们就将得到的结果再左移 1 位，即得到进位值，得到 1010，二进制的 (101&111)<<1 得到 1010
第三步重复上述两步，将各位值与进位值相加；先计算各位值（不算进位） 00000010 ^ 00001010 = 00001000，进位值为 (00000010 & 00001010)<<1 = 00000100
继续 while 循环重复上述两步：00001000 ^ 00000100 = 00001100，直到进位值为 0，跳出循环，返回 00001100 为最终结果 12。

4、js 实现减法

a-b 的减法运算可以利用 a+(-b) 来实现，其中 b 的负数就是 -b，也就是 b 的补码，即 b 需要转补码后与 a 相加；
又因为补码是由反码加1得到的，所以我们就先把 b 转反码，然后再加1（反码就是各位取反，也就是要用 ~按位取反运算符，再最后结果加上 1），原理我们知道，就可以开动了：

function Sub(nNum1, nNum2) {
    if(nNum1 == 0 || nNum2 == 0) return nNum1 || -nNum2 ;
    nNum2 = ~nNum2;	//取反码
    var ntempNum;
    while (nNum2 != 0) {
        ntempNum = nNum1 ^ nNum2;
        nNum2 = (nNum1 & nNum2) << 1;
        nNum1 = ntempNum;
    }
    return nNum1+1;
}

console.log( Sub(5,18) ); //-13
console.log( Sub(160,18) ); //142

上例关键点就是 取反码 处。
(题外话，其实 加法 Add() 函数第二个参数传入负值既是减法操作了，比如 console.log( Add(10,-20) ); 打印出 -10 ）

至于其它运算，原理大致相似：
乘法：循环利用加法，实现b个a相加
整数除法：循环相减，直至减至非正数。

更多位运算符用于提升 js 性能的讲解将在另文介绍，比如 使用 & 运算符使得取模效率提高50%。移位运算符在计算中高效运用使效率翻倍等等。